Smilarity --- 到底有多相似：Euclidean Distance 及 Cos Distance

顧客A買了糖果、餅乾、衛生紙
顧客B買了餅乾、汽水、雜誌
顧客C買了汽水

要如何決定他們之間的相似程度？

Euclidean Distance：

一個滿符合直覺的做法就是用Euclidean distance，就是國中學過的平面中二點的距離

所以顧客A、B、C的座標分別是

1代表有買過，0代表沒買過

距離分別是

C跟A的距離是2.23，C跟B的距離是1.41，C跟B距離比較近，所以比較相似


Cosine Distance：

但是這裡有個問題，也就是有購買東西的意義遠大於沒購買東西的意義。

舉例來說：
說法1：因為B跟C都有買汽水，所以他們比較像
說法2：因為A跟C都沒有買雜誌，所以他們比較像
說法1看起來比較符合我們的思考方式，因為不買某商品的理由遠多於購買某商品的理由。

再舉個例子：
說法1：我跟歐巴馬比較像，因為我們都不是白人
說法2：我跟金城武比較像，因為我們都是帥哥
看起來說法2比較站得住腳，因為不同的東西太多，而相同的東西太少。

這樣的概念數值化後就是：Cosine Similarity

Cosine Distance 就是 1 - Cosine Similarity

情況一：A跟B同時買了4件東西，4件東西都一樣。A跟B的cosine similarity是 4 / sqrt(4)*sqrt(4) = 1，cosine distance = 1-1 = 0。他們之間沒有距離，代表他們一模一樣。

情況二：A買了100件東西，B買了4件東西，他們買的東西只有1件相同，A跟B的cosine similarity是 1 / sqrt(100)*sqrt(4) = 1/20，cosine distance = 1 - 1/20 = 0.95。

回到最初的例子：B，C的cosine distance是多少？

cosine distance
= 1 - cosine similarity
= 1 - ( 1 / sqrt(4)*sqrt(1) )= 1 - 0.5
= 0.5

但是cosine distance只適用於有沒有購買的紀錄，有買就是1，不管買了多少，沒買就是0。如果還要把購買的數量考慮進來，就不適用於這種方式了。